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Problema 1 Sabendo que C1 =
30µF, C2 = 60µF, C3 =14µF, C4=20
µF, C5 = 80 µF, e V = 90 volts a) Calcule a capacitância total do
circuito abaixo, entre os pontos a e b b) Calcule a carga em cada
capacitor c) Calcule a tensão em cada
capacitor d) Calcule a energia acumulada em
cada capacitor.
Solução do Problema 1 Item a Pelo circuito da figura acima, percebe-se que os
capacitores C4 e C5 estão em série.
Para calcular a capacitância equivalente de um circuito série de dois
capacitores, usa-se a equação abaixo. Ceq =
C4 C5 / (C4 + C5) Substituindo-se pelos valores numéricos e
efetuando o cálculo: Ceq1 = 20 x 80 / (20 + 80) = 16µF
Repare na figura acima como ficou o circuito
redesenhado. Também é fácil reconhecer que os capacitores
de 14 e 16 µF estão em paralelo. Para se calcular a
capacitância equivalente de um circuito paralelo, basta somar o valor de
todos os capacitores que compõem o circuito. Neste caso, somando 14 e 16
µF resulta um valor de Ceq2 = 30 µF
A figura acima mostra como Ceq2 fica
em série com o capacitor de 60 µF. Então, basta aplicar a equação
mencionada acima para calcular o valor equivalente da associação. Após o
cálculo resulta o valor de 20 µF. Substituindo estes dois capacitores por um único
de 20 µF, falta fazer o paralelo deste capacitor com o de 30 µF.
Finalmente, ao somar seus valores, encontra-se o valor da capacitância total
entre os pontos a - b, ou: Ctotal =
50 µF Item b Repare que C1 está
em paralelo com a fonte de tensão. Logo, é fácil calcular sua carga, pois
sabemos que: q1 = C1 V Então, fazendo a substituição pelos valores
numéricos: q1 = 90 x 30 x 10-6 =
2,7 x 10-3 C Para se calcular a carga em C2,
deve-se olhar para a última figura e notar que C2 está
em série com o capacitor resultante da associação entre C3, C4 e C5,
ou Ceq2. Por outro lado, sabe-se que em uma associação série,
a carga em cada capacitor que compõem o circuito é a mesma. Acrescente-se que
o resultado dessa série é 20 µF, já calculado anteriormente. Portanto, é
possível calcular a carga dessa capacitância equivalente, usando a última
equação acima, ou: q20 = 90 x 20 x 10-6 =
1,8 x 10-3 C Então, essa carga de 1,8 x 10-3 C tem
que estar presente no capacitor de 60 µF e em Ceq2 =
30 µF, como não poderia deixar de ser.
Porém, perceba que o capacitor de 30
µF é o paralelo de C3 e Ceq1, onde
este é a capacitância equivalente da série de C4 e C5,
visto anteriormente. Logo, baseado na figura ao lado, podemos calcular a
carga em C3 usando uma proporção, pois a tensão sobre os
dois capacitores é a mesma, já que estão em paralelo. Se em 30 µF temos uma carga de 1,8
x 10-3 C, então em 14µF teremos: q3 = ( q30 C3 )/
(C3 + Ceq1) Substituindo-se pelos valores numéricos e
efetuando o cálculo: q3 = ( 1,8
x 10-3 x 14 x 10-6 )/ 30 x 10-6 =
0,84 x 10-3 C É evidente que no capacitor de 16 µF, ou
seja, em Ceq1, a carga será a diferença entre a carga
de 1,8 x 10-3C e a carga em C3 (q3,
valor calculado acima). Logo: q16 = 1,8 x 10-3 -
0,84 x 10-3 = 0,96 x 10-3) De posse desse dado, e lembrando
que 16µF é o valor da capacitância equivalente da associação série
de C4 e C5, ou Ceq1,
conclui-se que esta carga de 0,96 x 10-3 C é a
carga presente tanto em C4, como em C5. Agora, podemos fazer um resumo dos valores
calculados. Veja abaixo. q1 = 2,7 x 10-3 C
q2 = 1,8 x 10-3 C q3 =
0,84 x 10-3 C q4 =
q5 = 0,96 x 10-3 C Item c Neste item, vamos calcular as tensões a que estão
submetidos os capacitores que compõem o circuito. Como C1 está
em paralelo com a fonte de tensão de 90 volts, é claro que a tensão
sobre ele também é de 90 volts. Vamos relembrar a equação que relaciona
capacitância, tensão e carga. Veja abaixo: q = CV
Desta forma, olhando para a figura ao lado,
sabemos que Ceq2 e C2 estão em
série. Para calcularmos a tensão sobre cada capacitor de um circuito série,
basta sabermos que a tensão é inversamente proporcional ao valor da
capacitância, já que a carga dos capacitores é a mesma. Assim, podemos escrever: VC2 = V Ceq2 / (C2 +
Ceq2) VC2 = 90 x 30 / (30 + 60) = 30V Da mesma forma podemos fazer para Ceq2,
ou: VCeq2 = V C2 / (C2 +
Ceq2) VCeq2 = 90 x 60 / (30 + 60) = 60V
Como podemos ver na figura ao lado, a
tensão VCeq2, tensão sobre Ceq2, é a mesma
sobre Ceq1 e C3, já que Ceq2 é
a capacitância equivalente da associação paralelo de Ceq1 e C3.
Portanto: VC3 = 60V VCeq1 = 60V Por outro lado, sabemos que Ceq1 é
a capacitância equivalente da série entre os capacitores C4 e C5.
Logo, aplicando a mesma técnica que utilizamos para calcular a tensão sobre
os capacitores Ceq2 e C2, encontramos os
valores de: VC4 = 60 x 80 / (20 + 80) = 48V VC5 = 60 x 20 / (20 + 80) = 12V Com isso, e obedecendo a notação da figura
inicial, podemos escrever que: V1 = 90V V2 = 30V V3 = 60V V4 = 48V V5 = 12V Para calcularmos o item d, vamos relembrar a
equação que relaciona a energia de um capacitor em função da tensão sobre o
capacitor e sua capacitância. Uc =
(1/2) C V² Portanto, para calcularmos a energia acumulada em
cada capacitor, basta aplicarmos a fórmula. Então: U1 = (1/2) x 30 x 10-6 902 =
0,1215J U2 = (1/2) x 60 x 10-6 302 =
0,027J U3 = (1/2) x 14 x 10-6 602 =
0,0252J U4 = (1/2) x 20 x 10-6 482 =
0,02304J U4 = (1/2) x 80 x 10-6 122 =
0,00576J
Repare que se somarmos a energia acumulada por
cada capacitor, encontraremos a energia total do sistema. Somando,
encontramos: Utotal =
U1 + U2 + U3 + U4 +
U5 = 0,2025J Por outro lado, calculamos no item a a capacitância total do sistema, cujo valor é 50 µF,
e sabemos que a tensão sobre essa capacitância é de 90 volts. Vamos,
agora, calcular qual a energia acumulada pela capacitância total. Utotal = (1/2) x 50 x 10-6 902 =
0,2025J Como não poderia deixar de ser, prevaleceu
a lei da Conservação da Energia. Problema2
Se a tensão
entre os terminais a - b no circuito da figura abaixo é de 28
volts, determine a tensão sobre cada capacitor.
Solução do
Problema 2 Para se resolver
este problema, deve-se calcular a capacitância entre os pontos a-b.
Repare na figura ao lado, o circuito redesenhado
mostrando a capacitância resultante do circuito série entre os capacitores
de 4 e 12 µF. Assim, resulta um capacitor de valor igual
a 3 µF. Note que este capacitor, por sua vez, encontra-se em paralelo
com o capacitor de 6 µF. Conectados ao ponto c há dois
capacitores em série: um de 24 µF e outro de 8 µF. Dessa série
resulta um capacitor de 6 µF, conforme figura acima.
A figura ao lado mostra o capacitor de 9
µF resultante do paralelo entre os capacitores de 3
µF e 6 µF. Repare que esse capacitor fica em série com o capacitor
de 18 µF. Então, o
capacitor resultante dessa série possui um valor equivalente de 6 µF.
Acima, o circuito resultante possui dois
capacitores de 6 µF em paralelo. Desse paralelo resulta um
capacitor de 12 µF, que por sua vez, ficará em série com o capacitor
de 2 µF que está ligado ao ponto a.
Na figura acima, nota-se que os dois capacitores
estão em série. Em um circuito série, sabe-se que a tensão é inversamente proporcional
ao valor da capacitância, já que a carga dos capacitores que se encontram em
série é a mesma. Lembrando que a
tensão entre os pontos a - b é de 28 volts, é possível
calcular a tensão sobre o capacitor de 2 µF. V2 =
28 [12 / (12 + 2)] = 24V E sobre o
capacitor de 12 µF resulta uma tensão de: V12 =
V - V2 = 28 - 24 = 4V Note que a
tensão V12 é a tensão entre os pontos c- b
Voltando ao circuito que mostra os capacitores
de 18 e 9 µF em série, é possível calcular qual a tensão
sobre cada capacitor. Não esqueça que a tensão sobre estes capacitores é a
tensão calculada entre os pontos c - b, ou seja, um valor de 4
volts. Então a tensão sobre o capacitor de 18 µF é: V18 = 4 [9 / (18 + 9)] = 4/3V
V9 = Vc -
V18 = 4 - (4/3) = 8/3V
Repare que a tensão sobre o capacitor de 9
µF é a tensão no ponto d. Logo, é a mesma tensão sobre os
capacitores de 3 e 6 µF. Essa situação é mostrada na figura ao
lado. Porém, retornando ao circuito inicial, percebe-se que o capacitor
de 3 µF é o resultado da série entre os
capacitores 4 e 12 µF. Assim, a tensão sobre o capacitor de 4
µF é V4 = (8/3) [12 / (12 + 4)] = 2V Então, a tensão sobre o capacitor de 12
µF é V12 = Vd -
V4 = (8/3) - 2 = 2/3 Por último, devemos prestar atenção ao fato que
entre os pontos c - b, conforme circuito inicial, há dois capacitores em
série: um de 24 µF e outro de 8 µF. Como a tensão entre esses
pontos é de 4 volts, a tensão sobre o capacitor de 8 µF será: V8 = 4 [24 / (24 + 8)] = 3V E a tensão sobre o capacitor de 24 µF é
V24 = Vc -
V8 = 4 - 3 = 1V Resumindo, apresenta-se os valores calculados em
todos os capacitores. V2 = 24V V24 = 1V V8 = 3V V18 = 4/3V V6 = 8/3V V4 = 2V V12 = 2/3V |
